Розрахунки синусоїдального стаціонарного стану - Технічні статті
Давайте заглибимося в поняття потужності змінного струму, як розрахувати миттєву потужність, середню потужність, реактивну потужність, складну потужність та коефіцієнт потужності. Ми також поговоримо про взаємозв'язок кожної концепції між собою.
Миттєва потужність
Ми розпочинаємо дослідження розрахунків синусоїдальної потужності із загальної схеми на рис. 1.1. Тут, v і i є стаціонарними синусоїдальними сигналами. Використовуючи пасивний знак (PSC), потужність у будь-який момент часу надається:
Рисунок 1.1 Зображення схеми, що використовується для розрахунку потужності.
Рівняння 1.1 описує миттєва потужність. Нагадаємо, що якщо опорний напрямок струму знаходиться у напрямку підвищення напруги, рівняння 1.1 потрібно писати зі знаком мінус. Миттєва потужність завжди вимірюється у ватах, коли напруга вимірюється у вольтах, а сила струму - в амперах. Два вирази фазових кутів v і i пишуться як
$$ v = V_ \ cos (\ omega t + \ theta _), $$ (1.2)
$$ i = I_ \ cos (\ omega t + \ theta _), $$ (1,3)
У цих двох виразах $$ \ theta _ $$ - фазовий кут напруги, а $$ \ theta _$$ - поточний фазовий кут.
Під час роботи в синусоїдальному сталому режимі може бути обраний зручний орієнтир для нульового часу. Інженерам, які розробляють системи, що передають велику кількість енергії, було зручно використовувати нульовий час, який відповідає моменту, коли струм проходить через позитивний максимум. Вибравши такий контрольний час, зсув напруги та струму на $$ \ theta _$$ потрібно. Тепер, рівняння 1.2 та 1.3 стають
$$ v = V_ \ cos (\ omega t + \ theta _ - \ theta _) $$ (1,4)
$$ i = I_ \ cos (\ omega t) $$ (1,5)
Якщо рівняння 1.4 і 1.5 підставляються в рівняння 1.1, вираз для миттєвої потужності стає тепер
$$ p = V_I_ \ cos (\ omega t + \ theta _ - \ theta _) \ cos (\ omega t) $$ (1.6)
Рівняння 1.6 можна використовувати для визначення середньої потужності такою, якою вона є; однак, застосовуючи кілька простих тригонометричних тотожностей, рівняння миттєвої потужності можна спростити. Використання продукту косинуса дає ідентичність
$$ \ cos (\ alpha) \ cos (\ beta) = \ frac \ cos (\ alpha - \ beta) + \ frac \ cos (\ alpha + \ beta) $$
Дозволяючи $$ \ alpha = \ omega t + \ theta _- \ theta _$$ та $$ \ beta = \ omega t $$ забезпечує
$$ p = \ fracI _> \ cos (\ theta _- \ theta _) + \ fracI _> \ cos (2 \ omega t + \ theta _- \ theta _) $$ (1,7)
Нарешті, використовуючи тотожність косинуса з сумою кута
$$ \ cos (\ alpha + \ beta) = \ cos (\ alpha) \ cos (\ beta) - \ sin (\ alpha) \ sin (\ beta) $$
розширити другий доданок у правій частині рівняння 1.7, що дає
$$ p = \ frac >> \ cos (\ theta _- \ theta _) + \ fracI _> \ cos (\ theta _- \ theta _) \ cos (2 \ omega t) - \ fracI _> \ sin (\ theta _- \ theta _) \ sin (2 \ омега т) $$ (1,8)
Зв'язок між струмом, потужністю та напругою
На малюнку 1.2 нижче показано взаємозв'язок між i, v, і стор, припускаючи, що $$ \ theta _ = 60 ^ $$ і $$ \ theta _= 0 ^ $$. Частота миттєвої потужності вдвічі перевищує частоту струму або напруги. Це зображення також випливає з двох других термінів у правій частині рівняння. 1.8. Це означає, що миттєва потужність проходить два повних цикли для кожного циклу струму або напруги. Якщо поглянути на рис. 1.2, миттєва потужність може бути від’ємною для частини кожного циклу, навіть якщо мережа між терміналами пасивна. У пасивній мережі ця негативна потужність означає, що енергія, що зберігається в котушках індуктивності або конденсаторах, зараз витягується. Хоча миттєва потужність змінюється з часом у синусоїдальному стаціонарному стані ланцюга, це спричиняє певні вібрації у деяких електроприводах. Через цю вібрацію в цих приладах необхідні еластичні кріплення двигуна, щоб зменшити надмірну вібрацію.
Рисунок 1.2 Миттєва потужність, сила струму та напруга в порівнянні з кутовою частотою
Середня та реактивна потужність
Рівняння 1.8 тепер можна використовувати для знаходження середньої потужності на клемах схеми, а також для встановлення концепції реактивної потужності. Зазначивши, що рівняння має три доданки, його можна переписати як
$$ p = P + P \ cos (2 \ omega t) -Q \ sin (2 \ omega t), $$ (1.9)
Середня (реальна) потужність $$ P = \ fracI _> \ cos (\ theta _- \ theta _) $$ (1,10)
Реактивна потужність $$ Q = \ fracI _> \ sin (\ theta _- \ theta _) $$ (1,11)