Лефшец-наперстки та квантові фази в нульвимірних бозонових моделях SpringerLink
Анотація
У цій роботі, аналізуючи структуру Лефшеца-наперстка, ми досліджуємо квантові фази (або квантові критичні точки) в теоріях нульового виміру скалярного поля зі складними діями. Використовуючи перші принципи, ми отримуємо рівняння накидків цих моделей для різних значень параметрів зв'язку. При розкладанні наперстків складних інтегралів шляху визначення важливих складових виступає визначення так званих чисел перетину. У цій роботі ми отримуємо аналітичні вирази для комбінованого числа перетинів наперстків та антинаперстків цих теорій нульових розмірів. Ми також отримуємо умовні вирази, що включають співвідношення між параметрами зв'язку моделі, які допоможуть нам передбачити квантові фазові переходи в цих системах. Ми бачимо, що основна структура наперстка зазнає кардинальних змін, коли система проходить такий фазовий перехід.
Вступ
Ми зустрічаємо інтеграли шляху зі складними діями у багатьох галузях фізики. Яскравими прикладами є інтеграл шляху Мінковського, теорія Янга – Міллса у тета-вакуумі, калібровані теорії Черна – Саймонса, хіральні калібровані теорії та КХД з хімічним потенціалом. Існують також квантові теорії зі складними діями, які інваріантні щодо \ (> \) симетрії [1,2,3]. В контексті теорії струн, матрична модель IKKT, нульвимірна суперсиметрична квантова теорія поля, яка служить перспективним кандидатом для непертурбативної формулювання теорії суперструн, має складний ферміонний оператор [4,5,6]. Дослідження непертурбативної структури таких теорій за допомогою традиційних методів інтегрального шляху Монте-Карло є ненадійним через наявність проблеми зі знаками. Було б дуже корисно мати формалізм, який пропонує перспективний інструмент для вирішення квантових теорій поля, що містять такі складні інтегральні вагові ваги.
Нещодавно розроблений метод боротьби з квантовими теоріями полів із складними діями використовує складний аналог теорії Морзе з диференціальної топології [7, 8]. Примітка 1. Там об’єкти першочергового інтересу, так звані наперстки Лефшеца, являють собою набір підколекторів, пов’язаних із функцією, яка задовольняє рівняння потоку Морзе для дійсної частини функції. Основною ідеєю використання цього формалізму є перетворення інтегралу шляху з точки зору скінченного набору не коливальних інтегралів. Нещодавні роботи над складними інтегралами траєкторій та з'єднаннями з наперстками Лефшеца, включаючи програми для квантового тунелювання та амплітуд розсіювання, можна побачити в посиланнях. [18,19,20,21,22,23,24,25,26,27,28,29]. У посиланнях [30,31,32,33,34,35] підхід Лефшеца-наперстка був використаний для вивчення теорій бозонових квантових полів, а також у посиланнях. Були вивчені [36,37,38,39,40,41,42,43] моделі, що включають ферміони. Актуальність наперстків Лефшеца в контексті напівкласичного розширення в асимптотично вільних квантових теоріях поля обговорюється в посиланнях. [44,45,46,47,48].
Стаття організована таким чином. У розд. 2 ми пропонуємо праймер на наперстках Лефшеца, вводячи рівняння градієнтного потоку даної дії. У розд. 3 ми представляємо модель, яка нас цікавить, нульвимірну бозонову модель зі складною дією, що містить квартові взаємодії та джерельний термін. Рівняння наперстків для цієї моделі виведені далі в розділі. 4. Ми обговорюємо аналітичні вирази для рівнянь наперстків та наперстків, а також так звані рішення для привидів, які не є ані наперстками, ані натяками. Ми також обговоримо поведінку функції розділення та спостережувані моделі як функції параметрів управління. У розд. 5 ми обговоримо межі фазових переходів для різних комбінацій значень параметрів зв'язку. Сюди входить цікавий випадок, коли складна дія виявляє \ (> \) симетрію. Кілька прикладів меж фазового переходу подано в Розділі. 6. Приклади показують, що структура наперсток зазнає різких змін, коли керуючі (нетеплові) параметри моделі проходять через квантово критичну точку. У розд. 7 ми подаємо короткий виклад основних результатів, і в Розділі. 8 ми даємо свої висновки та вказуємо можливі подальші напрямки.
Буквар на наперстках Лефшеца
Інтуїтивно ми можемо пов’язати наперстки Лефшеца з початковим циклом інтегрування квантової теорії поля наступним чином. Позначимо початковий цикл інтеграції як \ (> _ >> \). Ми 'ускладнюємо' цей множник до \ (> _ >> \), тобто беремо складний колектор \ (> _ >> \), що містить вихідний колектор \ (> _ >> \) як підмноговид, з вимога про те, що комплексно спряженим елементом \ (> _ >> \) є сам елемент. Можна полегшити поняття \ (> _ >> => ^ \) та \ (> _ >> => ^ \) для зручності розуміння.
Після комплексу, ми ідентифікуємо Функція Морзе [51]. Функція Морса в вільному сенсі визначає ці наперстки. Природною функцією, яку слід враховувати, є дія. (Фактична функція Морса, що розглядається, є дійсною частиною \ (- S \), оскільки, за визначенням, функції Морзе є реальними.) Враховуючи функцію Морса, ми ідентифікуємо її критичні точки - точки в \ (> _ >> \), де функція Морзе локально екстремізована. Наступним кроком, візуально, можна вважати постійно деформується \ (> _ >> \), деформація контролюється функцією Морса за допомогою рівнянь потоку Морзе