Приблизні рішення для класу моделей дробового порядку ВІЛ-інфекції за допомогою лінійного програмування
Надійшла 14 травня 2016 року; прийнято 24 червня 2016 р .; опубліковано 27 червня 2016 року
В останні роки вчені були зацікавлені у вивченні дробового числення та FDE у різних галузях техніки, фізики, математики, біології, фінансів, біомеханіки та електрохімічних процесів (детальніше див. [1] - [8]). Також було показано, що моделювання поведінки багатьох біологічних систем, що регулюються FDE, має більше переваг, ніж класичне цілочисельне моделювання [9]. Читачів, зацікавлених у FDE, згадують [10] - [17]. Хоча було докладено великих зусиль для пошуку чисельних та аналітичних методів вирішення FDE, наприклад, метод предиктора-коректора [18], декомпозиція Адомія [19], метод варіаційної ітерації [20], колокація за допомогою сплайн-функцій [21] та матричний вираз, наведений [22] [23], але більшість із цих FDE не мають аналітичних рішень.
У цій роботі спочатку ми апроксимуємо дробову похідну методом скінченних різниць, а потім використовуємо підхід AVK [24], щоб отримати нове наближене рішення для FDE. Цей підхід замінює FDE еквівалентною проблемою мінімізації, в якій оптимальним рішенням цієї проблеми є приблизне рішення вихідного FDE. Більше того, оскільки помилка такого підходу зведена до мінімуму, приблизні рішення є найкращими рішеннями для вихідної проблеми. Ми використовуємо це наближення для отримання чисельного рішення системи FDE, яка була використана для моделювання ВІЛ-інфекції CD4 + Т-клітин.
Обговорення статті відбуватиметься наступним чином: у наступному розділі ми виражаємо дробову модель ВІЛ та вводимо позначення, що використовуються в іншій частині статті. У Розділі 3 ми розробляємо ефективний підхід для апроксимації дробової похідної та використовуємо його в нашому числовому методі для розв’язування FDE. Деякі числові приклади наведені в Розділі 4. Нарешті, висновки включені в останній розділ.
Розглянемо наступну модель диференціального рівняння дробового порядку ВІЛ-інфекції CD4 + Т-клітин [25]:
(1)
з початковими умовами, і, в яких значення параметрів, наведені в таблиці 1.
Дотримуючись теореми 1 [25], зауважимо, що (1) поряд зі своїми початковими умовами має унікальне рішення, яке не є негативним. У цій роботі ми встановлюємо () як похідну Рімана-Ліувілля від порядку, визначеного [26]:
(2)
Метою даної роботи є розширення застосування підходу AVK для вирішення моделі дробового порядку для цієї моделі ВІЛ-інфекції CD4 + Т-клітин. Отже, у наступному розділі спочатку ми перетворюємо оригінальний FDE на
Таблиця 1. Змінні та параметри для моделі ВІЛ-інфекції.
задача оптимізації, заснована на мінімізації помилок. Дискретизуючи нову задачу та апроксимуючи дробову похідну Рімана-Ліувіля методом скінченних різниць, ми отримуємо найкраще наближене рішення вихідної FDE.
3. Підхід AVK для вирішення приблизно FDE
Розглянемо загальну систему FDE наступним чином:
(3)
де () - похідна Рімана-Ліувілля від порядку, g - інтегральна за Ріманом функція, що змінюється в часі, а A - компактна підмножина в. Також називається змінною стану. Ми хочемо отримати приблизний розв’язок задачі (3). Тому нам потрібно таке визначення.
Визначення 1. Для задачі (3) визначимо такий функціонал, який називається функціоналом загальної помилки:
де невід'ємний функціонал, - будь-яка норма у просторі, наприклад, де визначається наступним чином:
Тут ми перетворюємо задачу (4) на нелінійне програмування (НЛП) наступним чином:
Тепер для досягнення наближеного рішення вихідної задачі (3) досить вирішити задачу мінімізації (6). Отже, нам потрібна наступна теорема про середнє значення [27] та наслідки.
Теорема 1. Нехай h - невід’ємна неперервна функція на, необхідною та достатньою умовою є, що .
Висновок 1. Необхідною і достатньою умовою, щоб траєкторія була розв’язком системи (3), є те, що оптимальне рішення (6) має нульову цільову функцію.
Щоб приблизно розробити чисельне рішення задачі (6), ми визначили розмір сітки в часі на
для деякого додатного цілого числа m, тому точки сітки в інтервалі часу задаються,. Щоб краще проілюструвати чисельний підхід, ми вводимо такі позначення:
Згідно з наведеними вище позначеннями, задача (6) тепер апроксимується наступною задачею оптимізації:
Використовуючи кінцеву точку в будь-якому підінтервалі для апроксимації інтегралів, задача (7) тепер апроксимується наступною задачею оптимізації:
Тепер ми наближаємо дробову похідну наступним чином:
Визначте. Тоді рівняння (9) поступається
Для кращої ілюстрації чисельного підходу ми також вводимо такий різницевий оператор:
Отже, час вибірки дуже важливий, і його слід вибирати малим, тому кількість розділів велика. Це компроміс між часом вибірки та швидкістю вирішення проблем. Використовуючи знову трапецієподібне правило в будь-якому підінтервалі для апроксимації інтегралів, за винятком останнього інтервалу, в якому ми використовуємо наближення середньої точки, і
припустимо, для. Тому,
Таким чином, ми просто отримуємо задачу (8) у наступному вигляді:
Ми вирішили цю проблему оптимізації формулюванням лінійного програмування (LP), яке зроблено далі.
Лема 1. Нехай пари, - оптимальні рішення наступної задачі ЛП:
де I - компактний набір. Тоді, є оптимальним рішенням наступної проблеми НЛП:
Доказ. Оскільки, є оптимальним рішенням задачі ЛП, тому вони задовольняють обмеженням. Таким чином існує і для. Звідси, і так
. Тепер нехай існує, таке, що. Визначте, для. Тоді і. Більше того, а значить
Отже, що є суперечністю. Детальніше див. [28].
Тепер, за лемою 1, задачу (14) можна перетворити на таку еквівалентну задачу LP:
Отримавши рішення цієї задачі, ми визнаємо значення невідомого допустимим, і .
4. Числові приклади
У цьому розділі ми наводимо кількісні приклади та застосовуємо метод, представлений в останніх розділах для їх вирішення. Більше того, ми поширюємо цей підхід для приблизно розв'язування моделі ВІЛ-інфекції CD4 + Т-клітин з терапевтичним ефектом, включаючи систему FDE. Ці тестові задачі демонструють обґрунтованість та ефективність цього наближення.
Приклад 1. Як перший приклад, ми обчислюємо, за допомогою, для. Точні формули
похідні похідні від
Малюнок 1 показує результати, використовуючи наближення (10) - (13) для та різні варіанти m.
Тепер припустимо, що, і є наближеним та точним рішеннями системи (3) відповідно. Ми визначили абсолютну похибку наближення наступним чином:
У цьому прикладі максимальні абсолютні похибки, обчислені за рівнянням (16) для m та різних варіантів вибору, показані в таблиці 2.
Приклад 2. Розглянемо таку проблему початкового значення:
з початковим станом .
Ми це знаємо. Отже, аналітичним рішенням для системи (17) є. Тепер розкладемо дробову похідну до задачі (15). Рішення намальовано на малюнках 2-4 для m = 20, 50, 100 і .